Question

18．已知向量$\overrightarrow a=（{sinωx，cosωx}），\overrightarrow b=（{2sinωx，2\sqrt{3}cosωx}）$，函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b+λ，（{x∈R}）$的图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称，且经过点$（{\frac{π}{4}，\sqrt{3}}）$，其中ω，λ为实数，ω∈（0，2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若锐角α，β满足$f（{\frac{α}{2}+\frac{π}{3}}）=\frac{2}{7}，f（{\frac{α+β}{2}+\frac{π}{12}}）=\frac{{5\sqrt{3}}}{7}$，求β的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积公式，正弦函数的图象的对称性，求得ω的值，可得函数的解析式，再根据函数的图象经过特殊点，求得λ的值，从而得到函数的解析式．
（2）由条件利用同角三角的基本关系求得α、α+β的正弦和余弦，再利用两角差的余弦公式求得cosβ的值，可得β的值．

解答 解：（1）由$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b+λ$得$f（x）=2{sin^2}ωx+2\sqrt{3}cosωxsinωx+λ$
=1-cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx+λ=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+λ+1，
可得 $f（x）=2sin（{2ωx-\frac{π}{6}}）+λ+1$．
由于函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称，∴$sin（{\frac{2π}{3}ω-\frac{π}{6}}）=±1$，
解得：$ω=1+\frac{3}{2}k，k∈Z$，∵ω∈（0，2），∴ω=1．
又因为f（x）经过点$（{\frac{π}{4}，\sqrt{3}}）$，可得：λ=-1，因此$f（x）=2sin（{2x-\frac{π}{6}}）$．
（2）由$f（{\frac{α}{2}+\frac{π}{3}}）=\frac{2}{7}⇒cosα=\frac{1}{7}，f（{\frac{α+β}{2}+\frac{π}{12}}）=\frac{{5\sqrt{3}}}{7}⇒sin（{α+β}）=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}$．
∵α为锐角且$cosα=\frac{1}{7}$，∴$sinα=\sqrt{1-{{cos}^2}α}=\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$，
又α，β为锐角，∴$α+β∈（{\frac{π}{2}，π}）$，
又$sin（{α+β}）=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}＜sinα$，∴$α+β∈（{\frac{π}{2}，π}）$，∴$cos（{α+β}）=\sqrt{1-{{sin}^2}（{α+β}）}=-\frac{11}{14}$，
∴$cosβ=cos[{（{α+β}）-α}]=cos（{α+β}）cosα+sin（{α+β}）sinα=\frac{1}{2}$，∴$β=\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的图象的对称性，同角三角的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题．