Question

19．已知θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求g（θ）=（$\frac{1}{2}$+cosθ）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sinθ）的最大值．

Answer 1

分析 化简得出g（θ）=$\frac{1}{2}$sin2θ+sin（$θ+\frac{π}{3}$）$+\frac{\sqrt{3}}{4}$，判断不能同时达到最大值，只能够利用导数求解即可．

解答 解：∵g（θ）=$\frac{1}{2}$sin2θ+sin（$θ+\frac{π}{3}$）$+\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴g′（θ）=cos2θ$+cos（θ+\frac{π}{3}）$，
g′（θ）=0
即cos（2θ）=cos（$θ+\frac{4π}{3}$），
∴2θ=$θ+\frac{4}{3}$π，2θ+θ$+\frac{4}{3}$π=2π
即θ=$\frac{4}{3}$π，$θ=\frac{2π}{9}$
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴$θ=\frac{2π}{9}$，
∴最大值为为：（$\frac{1}{2}$+cos$\frac{2π}{9}$）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sin$\frac{2π}{9}$）．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，涉及同角三角函数基本关系，属基础题