Question

3．已知$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左右焦点分别为F₁、F₂，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线左支交于A、B两点，若△ABF₂为正三角形，则双曲线的离心率为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用直角三角形中含30°角所对的边的性质及其双曲线的定义、勾股定理即可得到a，c的关系．

解答 解：由△ABF₂是正三角形，则在Rt△AF₁F₂中，有∠AF₂F₁=30°，
∴AF₂=2AF₁，又|AF₂|-|AF₁|=2a．
∴AF₂=4a，AF₁=2a，又F₁F₂=2c，
又在Rt△AF₁F₂中，|AF1|2+|F1F2|2=|AF2|2，得到4a²+4c²=16a²，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=3．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 熟练掌握直角三角形中含30°角所对的边的性质及其双曲线的定义、勾股定理、离心率的计算公式，是解题的关键，属于中档题．