Question

13．设f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{lnx}$．
（1）求证：f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函数；
（2）若在函数f（x）的定义域内，不等式af（x）＞x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系进行性证明即可．
（2）根据不等式恒成立，构造函数转化为最值恒成立即可．

解答 解：（1）函数定义域为（0，1）∪（1，+∞），
函数的导数f′（x）=$\frac{2xlnx-\frac{{x}^{2}-1}{x}}{（lnx）^{2}}$=$\frac{x}{（lnx）^{2}}$•（2lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$），
令g（x）=2lnx-$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，则g′（x）=$\frac{2（x+1）（x-1）}{{x}^{3}}$，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，∴g（x）＞g（1）=0，
则f′（x）=$\frac{x}{（lnx）^{2}}$•g（x）＞0，此时f（x）为增函数，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，∴g（x）＞g（1）=0，
则f′（x）=$\frac{x}{（lnx）^{2}}$•g（x）＞0，此时f（x）为增函数，
综上f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函数
（2）af（x）-x=a•$\frac{{x}^{2}-1}{lnx}$-x=$\frac{x}{lnx}$[$\frac{a（{x}^{2}-1）}{x}$-lnx]．
设h（x）=$\frac{a（{x}^{2}-1）}{x}$-lnx，x＞0，
则h′（x）=$\frac{a{x}^{2}-x+a}{{x}^{2}}$，
①当a＞0且△=1-4a²＜0，即a≥$\frac{1}{2}$时，
此时ax²-x+a≥0在（0，1）和（1，+∞）恒成立，
∴当a≥$\frac{1}{2}$时，h′（x）≥0，
故h（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函数；
当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，而lnx＜0，
∴af（x）-x=$\frac{x}{lnx}$•h（x）＞0，
当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，而lnx＞0，
∴af（x）-x=$\frac{x}{lnx}$•h（x）＞0，
综上当x＞0且x≠1时，af（x）＞x，
②当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，令h′（x）＜0，得$\frac{1-\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$，此时函数h（x）在（1，$\frac{1+\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$）上为减函数，
当1＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$时，h（x）＜h（0）=0，
故af（x）-x=$\frac{x}{lnx}$•h（x）＜0，不符合题意，
③当a≤0时，h′（x）≤0，故h（x）在（0，1）和（1，+∞）上是减函数，
同理可得af（x）-x=$\frac{x}{lnx}$•h（x）＜0，不符合题意，
综上，a≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查函数单调性和导数的关系以及不等式恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．