Question

8．已知函数f（x）=（x²-2x）lnx+ax²-x
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．
（2）求函数f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]（e=2.71828…是自然对数的底数）上的零点个数．

Answer 1

分析 （1）由a=1，得f（x），对f（x）求导后单调区间可得．
（2）分离参数a，构造新函数h（x），将原命题等价转换为h（x）=a的交点个数，研究h（x）的走势，数形结合，得出a的范围对应的与h（x）的图象交点个数，即f（x）的零点个数．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=（x²-2x）lnx+x²-x，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=（2x-2）lnx+3x-3=（x-1）（2lnx+3），
令f′（x）=0，得x=1或x=${e}^{-\frac{3}{2}}$，
∴x∈（0，${e}^{-\frac{3}{2}}$），（1，+∞）是f（x）的递增区间，
f（x）的递减区间是（${e}^{-\frac{3}{2}}$，1），
（2）f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上的零点个数，
即f（x）=0在区间[$\frac{1}{e}$，e]上的解．
即-a=（1-$\frac{2}{x}$）lnx-$\frac{1}{x}$，
令h（x）=（1-$\frac{2}{x}$）lnx-$\frac{1}{x}$，
∴h′（x）=$\frac{2lnx+x-1}{{x}^{2}}$，
令g（x）=2lnx+x-1，
∴g′（x）=$\frac{2}{x}$+1，
∴g（x）在区间（0，+∞）时单调递增的，
g（1）=0，
∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，
∴h′（x）在x∈（0，1）时，h′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
∴h（x）在x∈（0，1）时，h（x）时单调递减的，x∈（1，+∞）时，h（x）时单调递增的．
∴h（x）最小值为h（1）=-1，
h（e）=1-$\frac{3}{e}$，h（$\frac{1}{e}$）=e-1，
∴①-a＜-1或-a＞e-1时，即a＜1-e或a＞1时，f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上无零点；
②-a=-1或1-$\frac{3}{e}$＜-a≤e-1时，即a=1或1-e≤a＜$\frac{3}{e}$-1时，f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有一个零点；
③-1＜-a≤1-$\frac{3}{e}$，即$\frac{3}{e}$-1≤a＜1时，f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有两个零点；
综上所述：a＜1-e或a＞1时，f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上无零点；
a=1或1-e≤a＜$\frac{3}{e}$-1时，f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有一个零点；
$\frac{3}{e}$-1≤a＜1时，f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有两个零点．

点评 本题考查函数求导，由导函数的正负确定原函数的单调区间．以及将零点个数转化为函数图象交点个数问题．分离参数，构造函数，数形结合．