Question

19．把曲线C：y=sin（$\frac{3π}{4}$-x）•cos（x+$\frac{π}{4}$）上所有点向右平移a（a＞0）个单位，得到曲线C′，且曲线C′关于点（0，0）中心对称，当x∈[$\frac{b+1}{8}$π，$\frac{b+1}{4}$π]（b为正整数）时，过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，则b的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 1或2

Answer 1

分析 运用二倍角的正弦公式和诱导公式，可得y=$\frac{1}{2}$cos2x，再由平移和中心对称可得y=±$\frac{1}{2}$sin2x，求得函数的导数，由有余弦函数的图象可得减区间，再由b为整数，即可得到b=1或2．

解答 解：y=sin（$\frac{3π}{4}$-x）•cos（x+$\frac{π}{4}$）=sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$cos2x，
由题意可得曲线C′：y=$\frac{1}{2}$cos（2x-2a），
曲线C′关于点（0，0）中心对称，可得
2a=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈N，
即有y=±$\frac{1}{2}$sin2x，
由y=$\frac{1}{2}$sin2x的导数为y′=cos2x，
由cos2x≤0，可得2x∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]．
当x∈[$\frac{b+1}{8}$π，$\frac{b+1}{4}$π]（b为正整数），
过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，
即有y′＜0恒成立，可得[$\frac{b+1}{4}$π，$\frac{b+1}{2}$π]⊆[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，
即有b=1或2；
由y=-$\frac{1}{2}$sin2x的导数为y′=-cos2x，
由-cos2x≤0，可得2x∈[2kπ+$\frac{3π}{2}$，2kπ+$\frac{5π}{2}$]．
当x∈[$\frac{b+1}{8}$π，$\frac{b+1}{4}$π]（b为正整数），
过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，
即有y′＜0恒成立，
则[$\frac{b+1}{4}$π，$\frac{b+1}{2}$π]⊆[2kπ+$\frac{3π}{2}$，2kπ+$\frac{5π}{2}$]不恒成立．
综上可得b=1或2．
故选：D．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查三角函数的恒等变换和图象变换，考查运算能力，属于中档题．