Question

15．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且sinα=$\frac{4}{5}$，cos（α+β）=-$\frac{16}{65}$，求cosβ的值．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sin（α+β）的值，由cosβ=cos[（α+β）-α]，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．

解答 解：∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且sinα=$\frac{4}{5}$，
∴cos$α=\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，
∴可得：α+β∈（0，π），又cos（α+β）=-$\frac{16}{65}$，可得：sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{63}{65}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=（-$\frac{16}{65}$）×$\frac{3}{5}$+$\frac{63}{65}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{204}{325}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力，属于基础题．