Question

6．如图，三棱锥P-ABC中，△PAB为边长等于2的正三角形，侧面PAB与底面ABC垂直，∠ABC=90°．
（1）求证：BC⊥PA；
（2）若侧棱PC在底面ABC上投影长为$\sqrt{3}$，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的性质即可得出BC⊥平面PAB，从而得出BC⊥PA；
（2）取AB中点D，则PD为棱锥的高，CD为PC在底面的投影，根据勾股定理求出BC，代入体积公式即可．

解答 （1）证明：∵∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面PAB，∵PA?平面PAB，
∴BC⊥PA．
（2）解：取AB中点D，连结PD，CD，
∵△PAB是边长为2的等边三角形，∴PD⊥AB，BD=1，PD=$\sqrt{3}$．
∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD?平面PAB，
∴PD⊥平面ABC．
∴CD为PC在底面ABC上的投影，即CD=$\sqrt{3}$．
∴BC=$\sqrt{C{D}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴三棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×BC×PD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判断，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．