Question

17．设f（x）=x³+x，x∈R，当0≤θ≤π时，f（mcosθ）+f（sinθ-2m）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据条件判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化，利用参数恒成立转化为求函数的最值问题即可得到结论．

解答 解：∵f（x）=x³+x，∴f（x）在R上递增且为奇函数，
∴当0≤θ≤π时，f（mcosθ）+f（sinθ-2m）＜0等价为：
当0≤θ≤π时，f（mcosθ）＜-f（sinθ-2m）=f（2m-sinθ），
即mcosθ＜2m-sinθ，
即m（2-cosθ）＞sinθ
∵0≤θ≤π，∴2-cosθ＞0，
则不等式等价为m＞$\frac{sinθ}{2-cosθ}$
设g（θ）=$\frac{sinθ}{2-cosθ}$，则g′（θ）=$\frac{cosθ（2-cosθ）-sinθ（sinθ）}{（2-cosθ）^{2}}$=$\frac{2cosθ-1}{（2-cosθ）^{2}}$，
∵0≤θ≤π，
∴由g′（θ）=0得cosθ=$\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$，
由g′（θ）＞0得cosθ＞$\frac{1}{2}$，即0＜θ＜$\frac{π}{3}$，
由g′（θ）＜0得cosθ＜$\frac{1}{2}$，即$\frac{π}{3}$＜θ＜π，
即当θ=$\frac{π}{3}$时，g（θ）取得极大值g（$\frac{π}{3}$）=$\frac{sin\frac{π}{3}}{2-cos\frac{π}{3}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则m＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化，利用参数恒成立转化为求函数的最值问题是解决本题的关键．