Question

8．货车欲以x km/h的速度行驶去130km远的某地，按交通法规，限制x的允许范围是[50，100]，假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是（2+$\frac{{x}^{2}}{360}$） 升/小时．司机的工资是14元/小时，试问最经济的车速是18$\sqrt{10}$km/h．这次行车的总费用最低是26$\sqrt{10}$元．

Answer 1

分析 易知行驶时间t=$\frac{130}{x}$，x∈[50，100]，从而可得y=[14+2（2+$\frac{{x}^{2}}{360}$）]$\frac{130}{x}$=130（$\frac{18}{x}$+$\frac{x}{180}$），从而利用基本不等式求解最值．

解答 解：由题意知，行驶时间t=$\frac{130}{x}$，x∈[50，100]，
记总费用为y元，
则y=[14+2（2+$\frac{{x}^{2}}{360}$）]$\frac{130}{x}$
=130（$\frac{18}{x}$+$\frac{x}{180}$）
≥130×2×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=26$\sqrt{10}$，
（当且仅当$\frac{18}{x}$=$\frac{x}{180}$，即x=18$\sqrt{10}$时，等号成立），
故答案为：18$\sqrt{10}$，26$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了基本不等式在求解最值问题中的应用．