Question

18．（1）已知tan（α+β）=$\frac{2}{5}$，tan（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$，求$\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$的值；
（2）已知β，β均为锐角，且cos（α+β）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin（α-β）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求2β．

Answer 1

分析 （1）原式利用同角三角函数间基本关系化简，再利用两角和与差的正切函数公式计算即可求出值；
（2）根据已知等式，利用同角三角函数间基本关系求出sin（α+β）与cos（α-β）的值，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值计算即可求出2β的度数．

解答 解：（1）∵tan（α+β）=$\frac{2}{5}$，tan（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$，
∴tan[（α+β）-（β-$\frac{π}{4}$）]=tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα+1}{1-tanα}$=$\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$，
∵tan[（α+β）-（β-$\frac{π}{4}$）]=$\frac{tan（α+β）-tan（β-\frac{π}{4}）}{1+tan（α+β）tan（β-\frac{π}{4}）}$=$\frac{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}{1+\frac{2}{5}×\frac{1}{4}}$=$\frac{3}{22}$，
∴原式=$\frac{3}{22}$；
（2）∵α，β均为锐角，
∴0＜α+β＜π，
∵cos（α+β）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵-$\frac{π}{2}$＜α-β＜$\frac{π}{2}$，
∴cos（α-β）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-β）}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$+$\frac{5\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵β为锐角，∴0＜2β＜π，
∴2β=$\frac{π}{4}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．