Question

3．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足条件以下条件：f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）求f（4）的值
（2）求证：f（8）=3．
（3）求不等式f（x）＞3+f（x-2）的解集．

Answer 1

分析 （1）令x=y=2，则f（4）=f（2）+f（2）=1+1=2，
（2）由f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1⇒f（8）=3f（2），从而可证f（8）=3；
（3）由f（8）=3，f（x）＞3+f（x-2）⇒f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16），利用f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，即可求得不等式f（x）＞3+f（x-2）的解集

解答 解：（1）令x=y=2，则f（4）=f（2）+f（2）=1+1=2；
（2）证明：由题意得：
f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=f（2×2）+f（2）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2），
∴f（2）=1，
∴f（8）=3；                                            
（3）解：∵f（8）=3，
∴f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x＞8x-16}\end{array}\right.$，
解得2＜x＜$\frac{16}{7}$，
∴不等式的解集是（2，$\frac{16}{7}$）．

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查递推关系与函数单调性的应用，考查解不等式组的能力，属于中档题．