Question

15．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，0≤x＜2}\\{lo{g}_{16}x，x≥2}\end{array}\right.$，若关于x的方程[f（x）]²+a•f（x）-a-1=0（a∈R）有且只有7个不同实数根，则a的取值范围是（-2，-$\frac{5}{4}$）．

Answer 1

分析 根据偶函数图象的对称性及指数函数、对数函数的单调性，由条件便可得出f（x）在（-∞，-2]和[0，2）上是减函数，在（-2，0]和[2，+∞）上是增函数，从而得到x=0时，f（x）取极大值1，x=±2时，f（x）取得极小值$\frac{1}{4}$，这样即可画出f（x）的草图，而解[f（x）]²+af（x）-a-1=0可得f（x）=1或f（x）=-a-1，从而便有$\frac{1}{4}＜-a-1＜1$，从而便可得出a的取值范围．

解答 解：由题意，f（x）在（-∞，-2]和[0，2）上是减函数，在（-2，0]和[2，+∞）上是增函数；
∴x=0时，函数取极大值1，x=±2时，取极小值$\frac{1}{4}$，且|x|≥16时，f（x）≥1，则f（x）的图象如下所示：

由[f（x）]²+a•f（x）-a-1=0得[f（x）-1][f（x）+a+1]=0；
∴f（x）=1或-a-1；
∵关于x的方程[f（x）]²+a•f（x）-a-1=0有7个不同实数根；
∴$\frac{1}{4}＜-a-1＜1$；
∴$-2＜a＜-\frac{5}{4}$；
∴a的取值范围为$（-2，-\frac{5}{4}）$．
故答案为：$（-2，-\frac{5}{4}）$．

点评 考查偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及指数函数和对数函数的单调性，以及函数极值的概念，一元二次方程的解法，数形结合解题的方法．