Question

11．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE、△EBF、△FCD分别沿DE、EF、FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径．

解答 解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．
三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，
然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，
正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
∴球的半径为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查三棱锥的外接球体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键．