Question

10．直线y=kx-1与双曲线x²-y²=1的左支有两个公共点，则实数k的取值范围是$（-\sqrt{2}，-1）$．

Answer 1

分析 联立得出方程x²-（kx-1）²=1，只需在x＜-1内有两根，根据f（0）=-2，要使有两负根，则一定开口向下，利用二次函数的性质可得出△＞0，
f（-1）＜0，-$\frac{2k}{2（1{-k}^{2}）}$＜-1，解出k的范围即可．

解答 解：直线y=kx-1与双曲线x²-y²=1的左支有两个公共点，
∴x²-（kx-1）²=1在x＜-1内有两根，
令f（x）=x²-（kx-1）²-1=（1-k²）x²+2kx-2，
∵f（0）=-2，
∴（1-k²）＜0，
△＞0，
f（-1）＜0，
-$\frac{2k}{2（1{-k}^{2}）}$＜-1，
解得k的范围为：$（-\sqrt{2}，-1）$．

点评 考查了利用函数解决几何中曲线的交点问题，难点是对二次函数根的讨论问题．