Question

11．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=C且4a²+b²+c²=4$\sqrt{3}$，则△ABC面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由∠B=∠C得b=c，代入4a²+b²+c²=4$\sqrt{3}$化简，根据余弦定理求出cosC，由平方关系求出sinC，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答 解：由B=C得b=c，代入4a²+b²+c²=4$\sqrt{3}$得，4a²+2b²=4$\sqrt{3}$，即b²=2$\sqrt{3}$-2a²，
由余弦定理得，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{a}{2b}$，
所以sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\sqrt{\frac{4{b}^{2}-{a}^{2}}{4{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{8\sqrt{3}-9{a}^{2}}}{2b}$，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$ab×$\frac{\sqrt{8\sqrt{3}-9{a}^{2}}}{2b}$=$\frac{a}{4}$$\sqrt{8\sqrt{3}-9{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{{a}^{2}（8\sqrt{3}-9{a}^{2}）}$
=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×$$\sqrt{9{a}^{2}（8\sqrt{3}-9{a}^{2}）}$≤$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×$$\frac{9{a}^{2}+8\sqrt{3}-9{a}^{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，当且仅当9a²=8$\sqrt{3}$-9a²取等号，此时a²=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，
所以△ABC的面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力，属于中档题．