Question

16．已知f（x）=2x²+bx+c．
（1）对任意x∈[-1，1]，f（x）的最大值与最小值之差不大于6，求b的取值范围；
（2）若f（x）=0有两个不同实根，f（f（x））无零点，求证：$\sqrt{2b+1}$-$\sqrt{{b}^{2}-8c}$＞1．

Answer 1

分析 （1）f（x）=2x²+bx+c=$2（x+\frac{b}{4}）^{2}$+c-$\frac{{b}^{2}}{8}$，x∈[-1，1]．对b分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．
（2）f（x）=2x²+bx+c=0有两个不同实根，可得△＞0．可得此方程的两个实数根：x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{4}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{4}$．要使f（f（x））无零点，则方程f（x）=x₁，f（x）=x₂，均无解．由于x₁＞x₂，可得f（x）=2x²+bx+c的最小值c-$\frac{{b}^{2}}{8}$＞x₁，化简整理即可证明．

解答 （1）解：f（x）=2x²+bx+c=$2（x+\frac{b}{4}）^{2}$+c-$\frac{{b}^{2}}{8}$，x∈[-1，1]．
①当-$\frac{b}{4}$≤-1，即b≥4时，函数f（x）在x∈[-1，1]单调递增，∴f（1）-f（-1）≤6，化为：b≤3，舍去；
②当-$\frac{b}{4}$≥1，即b≤-4时，函数f（x）在x∈[-1，1]单调递减，∴f（-1）-f（1）≤6，化为：b≥-3，舍去；
③当-1＜-$\frac{b}{4}$＜1，即-4＜b＜4时，函数f（x）在$[-1，-\frac{b}{4}]$内单调递减，在$[-\frac{b}{4}，1]$内单调递增，∴f（x）_min=c-$\frac{{b}^{2}}{8}$．
∵f（1）-f（-1）=2b，当0≤b＜4时，f（x）_max=f（1）=2+b+c，则2+b+c-$（c-\frac{{b}^{2}}{8}）$≤6，解得0≤b≤$4（\sqrt{3}-1）$．
当-4＜b＜0时，f（x）_max=f（-1）=2-b+c，则2-b+c-$（c-\frac{{b}^{2}}{8}）$≤6，解得$4（1-\sqrt{3}）$≤b＜0．
综上可得：b的取值范围是$[4-4\sqrt{3}，4\sqrt{3}-4]$．
（2）证明：f（x）=2x²+bx+c=0有两个不同实根，∴△=b²-8c＞0．
可得此方程的两个实数根：x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{4}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{4}$．
要使f（f（x））无零点，则方程f（x）=x₁，f（x）=x₂，均无解．
∵x₁＞x₂，∴f（x）=2x²+bx+c的最小值c-$\frac{{b}^{2}}{8}$＞x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-8c}}{4}$，即b²-8c+2$\sqrt{{b}^{2}-8c}$+1＜2b+1，
∴$（\sqrt{{b}^{2}-8c}+1）^{2}$＜2b+1，∴$\sqrt{{b}^{2}-8c}$+1＜$\sqrt{2b+1}$．
∴$\sqrt{2b+1}$-$\sqrt{{b}^{2}-8c}$＞1．

点评 本题考查了考查了函数的性质、方程的解法与判别式的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．