Question

12．在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，$sin（\frac{π}{3}-C）+cos（C-\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若$c=2\sqrt{3}$且sinA=2sinB，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角差的正弦函数，余弦函数公式化简已知可得$cosC=\frac{1}{2}$，结合范围0＜C＜π，即可解得C的值．
（Ⅱ）由正弦函数化简sinA=2sinB，可得a=2b，利用余弦定理解得b，可求a的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分13分）
解：（Ⅰ）因为$sin（\frac{π}{3}-C）+cos（C-\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以$cosC=\frac{1}{2}$，（3分）
因为在△ABC中，0＜C＜π，所以$C=\frac{π}{3}$． （5分）
（Ⅱ）因为sinA=2sinB，所以a=2b，（6分）
因为c²=a²+b²-2abcosC，
所以${（2\sqrt{3}）^2}=4{b^2}+{b^2}-2×2{b^2}×\frac{1}{2}=3{b^2}$，（8分）
所以b=2，所以a=4．（11分）
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=2\sqrt{3}$．（13分）

点评 本题主要考查了两角差的正弦函数，余弦函数公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．