Question

8．已知A（-1，0），B是圆C：（x-1）²+y²=8（C为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BC于P，则动点P的轨迹方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，可得|PA|+|PC|=|CB|=$2\sqrt{2}$＞2，可得动点P的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，则答案可求．

解答 解：如图，圆C：（x-1）²+y²=8的圆心C（1，0），半径为r=|CB|=$2\sqrt{2}$，
由图可知，∵P是AB的垂直平分线上的点，
∴|PA|=|PB|，则|PA|+|PC|=|CB|=$2\sqrt{2}$，
∵$2\sqrt{2}＞2$，
∴动点P的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，且a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴b²=a²-c²=1．
∴动点P的轨迹方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查了椭圆的定义，体现了数学转化思想方法，是中档题．