Question

15．已知抛物线的顶点在原点，其准线过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个焦点，又若抛物线与双曲线相交于点A（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{6}$），B（$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{6}$），求此两曲线的方程．

Answer 1

分析 由抛物线与双曲线相交于点A（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{6}$），B（$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{6}$），先求出抛物线方程为y²=4x，从而得到a²+b²=1，由此能求出双曲线的方程．

解答 解：由题意可设抛物线方程为y²=2px，p＞0，
将$x=\frac{3}{2}$，y=$\sqrt{6}$代入得p=2，所求抛物线的方程为y²=4x，…（4分）
其准线方程为x=-1，即双曲线的半焦距c=1，∴a²+b²=1，①，
又$\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{{a}^{2}}-\frac{6}{{b}^{2}}=1$，②，
由①②可得${a}^{2}=\frac{1}{4}$，b²=$\frac{3}{4}$，
所求双曲线的方程为4x²-$\frac{4}{3}{y}^{2}$=1．…（8分）

点评 本题考查抛物线方程和双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线和抛物线的性质的合理运用．