Question

4．已知定义域为[1，2]的函数f（x）=2+log_ax（a＞0，a≠1）的图象过点（2，3），若g（x）=f（x）+f（x²），则函数g（x）的值域为[4，$\frac{11}{2}$]．

Answer 1

分析 根据f（x）的图象过点（2，3），代入可得实数a的值，再确定g（x）的定义域，最后根据单调性求函数值域．

解答 解：∵f（x）=2+log_ax的图象过点（2，3），
∴3=2+log_a2，即log_a2=1，解得a=2，
又∵g（x）=f（x）+f（x²）=4+3log₂x，且f（x）的定义域为[1，2]，
∴g（x）的自变量x需满足$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{1≤x^2≤2}\end{array}\right.$，解得x∈[1，$\sqrt{2}$]，
又g（x）在x∈[1，$\sqrt{2}$]上单调递增，
所以g（x）_min=g（1）=4，g（x）_max=g（$\sqrt{2}$）=$\frac{11}{2}$，
因此，函数g（x）的值域为[4，$\frac{11}{2}$]，
故填：[4，$\frac{11}{2}$]．

点评 本题主要考查了函数解析式和定义域的求法，以及应用单调性求函数的值域，忽视g（x）的定义域是本题的易错点，属于中档题．