Question

7．若向量$\overrightarrow{a}$=（2，1）和$\overrightarrow{b}$=（x-1，y）垂直，则|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|的最小值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由已知向量垂直得到数量积为0，由此得到x，y的等式，用，x，y表示|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|，求最小值．

解答 解：因为向量$\overrightarrow{a}$=（2，1）和$\overrightarrow{b}$=（x-1，y）垂直，所以2x-2+y=0，
所以$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（x+1，y+1），|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|²=（x+1）²+（y+1）²，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+1）^{2}}$表示（-1，-1）到直线上点的距离，
所以|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|的最小值为$\frac{|-2-2-1|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$；
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了向量垂直的性质以及向量模的求法；本题利用了点到直线的距离求最小值．