Question

17．已知数列{a_n}的前n项前S_n=-$\frac{1}{2}$n²+kn（其中k∈N₊），且a₁=$\frac{7}{2}$．
（1）求k的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{9+2a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S₁=-$\frac{1}{2}$×1²+k=a₁=$\frac{7}{2}$得k=4；
（2）由（1）知S_n=-$\frac{1}{2}$n²+4n，从而求通项公式；
（3）化简b_n=9+2a_n=9+2（-n+$\frac{9}{2}$）=18-2n；从而求前n项和T_n．

解答 解：（1）由题意得，
S₁=-$\frac{1}{2}$×1²+k=a₁=$\frac{7}{2}$，
解得，k=4；
（2）由（1）知S_n=-$\frac{1}{2}$n²+4n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-$\frac{1}{2}$n²+4n）-（-$\frac{1}{2}$（n-1）²+4（n-1））
=-n+$\frac{9}{2}$；
a₁=$\frac{7}{2}$也满足a_n=-n+$\frac{9}{2}$；
故数列{a_n}的通项公式a_n=-n+$\frac{9}{2}$；
（3）令b_n=9+2a_n=9+2（-n+$\frac{9}{2}$）=18-2n；
故T_n=$\frac{16+18-2n}{2}$n=-n²+17n．

点评 本题考查了数列的前n项和的求法及通项公式的求法，属于基础题．