Question

2．已知函数f（x）=cos（$\frac{4π}{3}$-2x）+2cos²x
（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取得最大值时对应的x的集合．
（2）若把函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，利用余弦函数的图象和性质即可得解．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换得g（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）+1，由2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+π，可得函数g（x）的单调递减区间．

解答 （本小题满分10分）
解：（1）f（x）=cos（$\frac{4π}{3}$-2x）+2cos²x
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1
∵x∈R，
∴f（x）_max=2
当2x+$\frac{π}{3}$=2kπ，即x=kπ-$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值，由此可得使f（x）取得最大的x的集合是：{x|x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z}
（2）根据平移变换，得
g（x）=f（x-$\frac{π}{4}$）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）+1
由2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+π，得 kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，
所以函数g（x）的单调递减区间是[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．