Question

7．已知函数$f（x）=2sinxcos（x+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足$\frac{2b-c}{a}=\frac{cosC}{cosA}$，求f（B）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，由三角函数的周期性及其求法即可得解．
（Ⅱ） 由已知及正弦定理、三角形内角和定理可得：cosA=$\frac{1}{2}$，结合A范围可得A=$\frac{π}{3}$，由（Ⅰ）可得：f（B）=sin（$\frac{B}{2}+\frac{π}{6}$）+1，由$0＜B＜\frac{π}{2}$且$0＜C=\frac{2π}{3}-B＜\frac{π}{2}$．可得$\frac{π}{3}＜\frac{B}{2}+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{12}$．由正弦函数的图象和性质即可求得f（B）的值域．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵$f（x）=2sinx（cosxcos\frac{π}{6}-sinxsin\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$…（1分）
=$\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x+\frac{3}{2}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1-cos2x}{2}+\frac{3}{2}$…（3分）
=$sin（2x+\frac{π}{6}）+1$．…（5分）
∴f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．…（6分）
（Ⅱ） 由$\frac{2b-c}{a}=\frac{cosC}{cosA}$及正弦定理可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）．
又A+B+C=π，∴2sinBcosA=sinB．
∵$sinB≠0∴cosA=\frac{1}{2}$，
又∵$A∈（0，π）∴A=\frac{π}{3}$．…（9分）
由（Ⅰ）$f（x）=sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）+1$，∴$f（B）=sin（\frac{B}{2}+\frac{π}{6}）+1$，
∵△ABC是锐角三角形，
∴$0＜B＜\frac{π}{2}$且$0＜C=\frac{2π}{3}-B＜\frac{π}{2}$．∴$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$．…（10分）
∴$\frac{π}{3}＜\frac{B}{2}+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{12}$．∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜sin（\frac{B}{2}+\frac{π}{6}）＜\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1＜sin（\frac{B}{2}+\frac{π}{6}）+1＜\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}+1$．
∴f（B）的值域是$（\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}+4}}{4}）$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦定理以及正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．