Question

16．已知幂函数f（x）=x${\;}^{-{k}^{2}+k+2}$k（∈Z） 满足f（2）＜f（3）
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上是减函数，求非负实数q的取值范围．

Answer 1

分析 （1）结合幂函数的性质得到不等式，解出k的值，从而求出函数f（x）的表达式；
（2）先表示出函数g（x）的表达式，结合函数的单调性通过讨论q的范围，从而得到答案．

解答 解：（1）依题意可知，-k²+k+2＞0，解得：-1＜k＜2，
又k∈Z，所以k=0或1，则-k²+k+1=2，
所以：f（x）=x²．
（2）g（x）=-qx²+（2q-1）x+1，（q≥0），
当q=0时，g（x）=-x+1在[-1，2]单调递减成立；
当q＞0时，g（x）=-qx²+（2q-1）x+1开口向下，对称轴右侧单调递减，
所以$\frac{2q-1}{2q}$≤-1，解得0＜q≤$\frac{1}{4}$；
综上所述，0≤q≤$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了函数解析式的求法，考查函数的单调性问题，是一道基础题．