Question

1．已知在等差数列{a_n}中，a₁=4，a₈=25，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$
（1）求a_n的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前nZ项和为T_n，证明：${T_n}＜\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的性质得出d=3，运用通项公式求解即可．
（2）运用通项公式裂项$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n+1）（3n+4）}$$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n+1}$$-\frac{1}{3n+4}$），得出T_n=$\frac{1}{12}$$-\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3n+4}$，放缩可证明不等式．

解答 解：（1）因为数列{a_n}为等差数列，
所以a₈=a₁+7d，即4+7d=25，
所以d=3，
故a_n的通项公式为a_n=3n+1，
（2）因为$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n+1）（3n+4）}$$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n+1}$$-\frac{1}{3n+4}$），
所以${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）+（\frac{1}{7}-\frac{1}{10}）+…+（\frac{1}{3n+1}-\frac{1}{3n+4}）]$=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{4}-\frac{1}{3n+4}）]$=$\frac{1}{12}-\frac{1}{{3（{3n+4}）}}$$＜\frac{1}{12}$（n∈N^*）

点评 本题综合考察了数列的概念性质，运用裂项法求解数列的和，放缩法求解数列的不等式，属于中档题，题目很典型．