Question

16．已知复数z₁=1+2i，z₂=2-2i，i为虚数单位．
（1）若复数az₁+z₂在复平面内对应的点在第三象限，求实数a的取值范围；
（2）若z=$\frac{{z}_{1}+{z}_{2}}{{z}_{1}-{z}_{2}}$，求z的共轭复数$\overline{z}$．

Answer 1

分析 （1）根据复数的几何意义建立不等式关系即可；
（2）根据复数的运算法则化简复数z=$\frac{{z}_{1}+{z}_{2}}{{z}_{1}-{z}_{2}}$，即可求z的共轭复数$\overline{z}$．

解答 解：（1）az₁+z₂=a+2ai+2-2i=（a+2）+2（a-1）i，
若复数在复平面内对应的点在第三象限，
则$\left\{\begin{array}{l}{a+2＜0}\\{2（a-1）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜-2}\\{a＜1}\end{array}\right.$，
解得a＜-2，即实数a的取值范围是（-∞，-2）；
（2）z=$\frac{{z}_{1}+{z}_{2}}{{z}_{1}-{z}_{2}}$=$\frac{1+2i+2-2i}{1+2i-2+2i}$=$\frac{3}{-1+4i}$=$\frac{3（-1-4i）}{（-1+4i）（-1-4i）}$=$\frac{-3-12i}{17}$=$-\frac{3}{17}$-$\frac{12}{17}$i，
则z的共轭复数$\overline{z}$=$-\frac{3}{17}$+$\frac{12}{17}$i．

点评 本题主要考查复数的几何意义以及复数的基本运算，考查学生的运算能力．