Question

20．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，a与b的夹角为120°，且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=0，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 150°

Answer 1

分析 由已知得到$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的数量积为-1，$\overrightarrow{c}$=$-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|，利用数量积公式可求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角．

解答 解：因为|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，a与b的夹角为120°，所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos120°=-1，由$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=0，得到$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=-$\overrightarrow{c}$，
所以，|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=${\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}=\sqrt{4}}^{\;}$=2，
所以$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角的余弦值为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•（-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{2}=\frac{{-\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{2}$=$\frac{-1+1}{2}$=0，
所以$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为90°；
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积公式的运用求向量的夹角．关键是公式的熟练运用．