Question

5．已知A（1，2），B（2，3），C（-2，5）为平面直角坐标系xOy内三点，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）求证：$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$；
（Ⅱ）若D为x轴上一点，且$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{BC}$共线，求D点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的坐标，进行数量积的坐标运算得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$即可；
（Ⅱ）设D（x，0），然后写出向量$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BC}$的坐标，根据$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{BC}$共线，由这两向量的坐标关系即可得到关于x的方程，解方程得出x，从而得出D点坐标．

解答 解：（Ⅰ）证明：$\overrightarrow{AB}=（1，1）$，$\overrightarrow{AC}=（-3，3）$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=1×（-3）+1×3=0$；
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$；
（Ⅱ）$\overrightarrow{BC}=（-4，2）$；
设D点坐标为（x，0），则$\overrightarrow{AD}=（x-1，-2）$；
∵$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{BC}$共线；
∴（-4）×（-2）-2×（x-1）=0；
解得x=5；
∴D点坐标为（5，0）．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，由点的坐标求向量坐标，以及共线向量的坐标关系．