Question

17．已知f（x）满足f（1+$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x}$+$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}}$，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 把解析式配方得出f（1$+\frac{1}{x}$）=（$\frac{1}{x}$+1）²-（$\frac{1}{x}$+1）+1，整体换元即可求解．

解答 解：∵f（1+$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x}$+$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}}$，
∴f（1$+\frac{1}{x}$）=（$\frac{1}{x}$+1）²-（$\frac{1}{x}$+1）+1，
设t=1$+\frac{1}{x}$，f（t）=t²-t+1，
∵1$+\frac{1}{x}$≠1
∴f（x）=x²-x+1，x≠1．

点评 本题考察了运用配方法，换元法求解函数的解析式，关键是注意变量的范围限制，属于中档题．