Question

2．已知函数f（x）=ax²-lnx（a∈R）．
（1）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，根据f′（1）=0，从而求出a的值．
（2）先确定函数的定义域然后求导数f′（x），讨论a的正负，在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间．

解答 解：（1）∵f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=2a-1=0，∴a=$\frac{1}{2}$；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-1}{x}$，
令g（x）=2ax²-1，x∈（0，+∞）
（i）当a≤0时，g（x）＜0，此时f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（ii）当a＞0时，方程2ax²-1=0有两根x₁=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，x₂=-$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，
且x₁＞0，x₂＜0，此时当x∈（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）时，f′（x）＜0，
当x∈（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）时，f'（x）＞0，
故f（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）为减函数，在（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）为增函数；
所以当a≤0时，函数f（x）的递减区间为（0，+∞），
当a＞0时，函数f（x）的递增区间为（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞），递减区间为（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性等基础知识，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．