Question

12．对于$f（x）={cos^2}（{x-\frac{π}{12}}）+{sin^2}（{x+\frac{5π}{12}}）-1$，下列选项中正确的是（　　）

• A． f（x）关于直线$x=\frac{π}{3}$对称
• B． f（x）是偶函数
• C． f（x）的最小正周期为2π
• D． f（x）的最大值为1

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：对于$f（x）={cos^2}（{x-\frac{π}{12}}）+{sin^2}（{x+\frac{5π}{12}}）-1$=$\frac{1+cos（2x-\frac{π}{6}）}{2}$+$\frac{1-os（2x+\frac{5π}{6}）}{2}$-1=$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{5π}{6}$）
=$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{6}$）=cos（2x-$\frac{π}{6}$），
令x=$\frac{π}{3}$，求得f（x）=0，不是最值，故f（x）的图象不关于直线$x=\frac{π}{3}$对称，故A不正确．
由于不满足f（-x）=f（x），故函数不是偶函数，故B不正确．
函数的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，故C不正确．
函数的最大值为1，故D正确，
故选：D．

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的图象和性质，属于基础题．