Question

7．如图，四边形ABCD满足$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=0，|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{DC}$|=2，若M是BC的中点，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{DM}$•$\overrightarrow{DC}$=（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． -$\frac{3}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 利用三角形中线与边的向量关系得到$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}）$，利用向量垂直等进行运算．

解答 解：因为M是BC的中点，所以得到$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}）$，
又$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=0，|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{DC}$|=2，
所以$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{DM}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AB}•\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$-$\frac{1}{2}（\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}）•\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DC}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{DC}}^{2}$=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$；
故选：D．

点评 本题考查了三角形中线的向量性质以及向量的运算；解答的关键是利用三角形的中线的向量表示．