Question

2．在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若向量$\overrightarrow x$=$（a，\sqrt{3}b）$与向量$\overrightarrow y=（cosA，sinB）$共线
（1）求角A；
（2）若a=2，求b+c得取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据向量共线的坐标条件、正弦定理进行化简，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角A；
（2）由（1）和正弦定理表示出b+c，利用两角和与差的正弦公式进行化简，由正弦函数的性质和角B的范围求出b+c的范围．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow x$=$（a，\sqrt{3}b）$与向量$\overrightarrow y=（cosA，sinB）$共线，
∴$asinB=\sqrt{3}bcosA$，（1分）
由正弦定理得，$sinAsinB=\sqrt{3}sinBcosA$，（2分）
∵sinB＞0，∴$tanA=\sqrt{3}$，（3分）
∵0＜A＜π，∴$A=\frac{π}{3}$；（4分）
（2）∵a=2，且$A=\frac{π}{3}$，∴$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{4}{{\sqrt{3}}}$，（5分）
∵C=π-A-B=$\frac{2π}{3}-B$，
∴$b+c=\frac{4}{\sqrt{3}}（sinB+sinC）=\frac{4}{\sqrt{3}}（sinB+sin（\frac{2π}{3}-B））$
=$\frac{4}{\sqrt{3}}（sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB）$=$4（\frac{\sqrt{3}}{2}sinB+\frac{1}{2}cosB）$
=$4sin（B+\frac{π}{6}）$，（7分）
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜$B+\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，则$\frac{1}{2}$＜$sin（B+\frac{π}{6}）$≤1，（9分）
∴2＜b+c≤4．（10分）

点评 本题考查正弦定理，两角和与差的正弦公式，正弦函数的性质，以及向量共线的坐标条件，注意内角的范围，属于中档题．