Question

14．若点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线y=x+3的最小距离为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x+3的最小距离．

解答 解：过点P作y=x+3的平行直线，且与曲线y=x²-lnx相切，
设P（x₀，x₀²-lnx₀）则有：
k=y′|x=x₀=2x₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$．
∴2x₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$=1，∴x₀=1或x₀=-$\frac{1}{2}$（舍去）．
∴P（1，1），
∴d=$\frac{|1-1+3|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查点到直线的距离，导数的应用，考查计算能力，属于中档题．