Question

12．已知cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，则cos（$\frac{π}{3}$-2α）=$\frac{7\sqrt{3}±4\sqrt{2}}{18}$．

Answer 1

分析 由已知及二倍角的余弦函数公式可得cos[2（α+$\frac{π}{4}$）]=2cos²（α+$\frac{π}{4}$）-1=-$\frac{7}{9}$=-sin2α，解得sin2α=$\frac{7}{9}$，由同角三角函数关系式可求cos2α，利用两角差的余弦函数公式化简所求即可得解．

解答 解：∵cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，
∴cos[2（α+$\frac{π}{4}$）]=2cos²（α+$\frac{π}{4}$）-1=2×（$\frac{1}{3}$）²-1=-$\frac{7}{9}$=cos（2α+$\frac{π}{2}$）=-sin2α，解得：sin2α=$\frac{7}{9}$，cos2α=$±\sqrt{1-si{n}^{2}2α}$=±$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴cos（$\frac{π}{3}$-2α）=cos$\frac{π}{3}$cos2α+sin$\frac{π}{3}$sin2α=$\frac{1}{2}×（±\frac{4\sqrt{2}}{9}）+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{7}{9}$=$\frac{7\sqrt{3}±4\sqrt{2}}{18}$．
故答案为：$\frac{7\sqrt{3}±4\sqrt{2}}{18}$．

点评 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角公式的应用，同角三角函数关系式的应用，考查了计算能力，属于基本知识的考查．