Question

7．已知$f（x）=sin（2x-\frac{π}{3}）$．
（1）求$f（{\frac{π}{8}}）$的值；         
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且$f（{\frac{A}{2}}）=0$，a=3，$b+c=2\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）把x=$\frac{π}{8}$代入$f（x）=sin（2x-\frac{π}{3}）$，利用两角差的正弦公式化简即可；
（2）由$f（\frac{A}{2}）=0$和角A的范围求出角A的值，由条件和余弦定理列出方程利用整体代换求出bc的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：（1）由题意得，$f（x）=sin（2x-\frac{π}{3}）$，
则$f（\frac{π}{8}）=sin（\frac{π}{4}-\frac{π}{3}）$=$sin\frac{π}{4}cos\frac{π}{3}-cos\frac{π}{4}sin\frac{π}{3}$
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{\sqrt{2}-\sqrt{6}}}{4}$…（5分）
（2）有$f（{\frac{A}{2}}）=0$可得：$sin（A-\frac{π}{3}）=0$，…（6分）
因为角A为△ABC的内角，所以$A=\frac{π}{3}$，…（7分）
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，…（8分）
∵a=3，（b+c）²=12，∴b²+c²=12-2bc，
代入上式解得：bc=1…（10分）
所以△ABC的面积${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$…（12分）

点评 本题考查余弦定理，两角和与差的正弦公式，注意内角的范围，以及整体代换求值，属于中档题．