Question

15．已知数列{a_n}满足：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+…+$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{8}$（3²ⁿ-1），n∈N^*．若b_n=log₃$\frac{a_n}{n}$，则$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 分n=1与n≥2讨论可得$\frac{n}{{a}_{n}}$=3^2n-1，从而可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=3^1-2n，化简b_n=1-2n，从而由裂项求和的方法求前n项和即可．

解答 解：当n=1时，$\frac{1}{{a}_{1}}$=3，
当n≥2，n∈N^*时，
$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+…+$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{8}$（3²ⁿ-1）①，
$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+…+$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{3}{8}$（3^2n-2-1）②；
①-②得，
$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{8}$（3²ⁿ-1-（3^2n-2-1））=3^2n-1，
$\frac{1}{{a}_{1}}$=3也成立，
故$\frac{n}{{a}_{n}}$=3^2n-1，
故$\frac{{a}_{n}}{n}$=3^1-2n，
故b_n=log₃$\frac{a_n}{n}$=log₃3^1-2n=1-2n，
故$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（1-2n）（-1-2n）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）；
故$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了前n项和与等比数列的通项公式的求法及裂项求和法的应用，属于中档题．