Question

3．已知f（x）在实数集R上是单调递增函数，且对任意的实数x₁，x₂，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂）．
（1）求f（0）的值；
（2）设f（x）的反函数为f^-1（x）（x∈A），求证：对于任意的x₁，x₂∈A，都有f^-1（x₁x₂）=f^-1（x₁）+f^-1（x₂）；
（3）求证：对于任意的实数x，都有f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）令x₁=0得f（x₂）=f（0）f（x₂），从而求得f（0）=1；
（2）令f（x₁）=y₁，f（x₂）=y₂，故f（x₁+x₂）=y₁y₂；从而可证明；
（3）由f（x）在实数集R上是单调递增函数，且f（0）=1；可得x＞0时，f（x）＞1；可证明f（0）=f（x）f（-x）=1；从而证明即可．

解答 解：（1）令x₁=0得，f（x₂）=f（0）f（x₂），
即f（x₂）（f（0）-1）=0，
又∵f（x）在实数集R上是单调递增函数，
∴f（0）=1；
（2）证明：令f（x₁）=y₁，f（x₂）=y₂，故f（x₁+x₂）=y₁y₂；
故x₁=f^-1（y₁），x₂=f^-1（y₂），x₁+x₂=f^-1（y₁y₂）；
故f^-1（y₁y₂）=f^-1（y₁）+f^-1（y₂）；
故对于任意的x₁，x₂∈A，都有f^-1（x₁x₂）=f^-1（x₁）+f^-1（x₂）．
（3）证明：∵f（x）在实数集R上是单调递增函数，且f（0）=1；
∴x＞0时，f（x）＞1；
令x₁=x，x₂=-x得，f（0）=f（x）f（-x）=1；
故当x＜0时，f（x）=$\frac{1}{f（-x）}$＞0；
综上所述，对于任意的实数x，都有f（x）＞0．

点评 本题考查了反函数的应用及函数单调性的应用，同时考查了分段函数的应用，属于中档题．