Question

14．在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做取整函数（也称高斯函数），[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2]=2，[3.1]=3，[-2.6]=-3．设函数f（x）=$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}-\frac{1}{2}$，则函数y=[f（x）]+[f（-x）]的值域为（　　）

• A． {0}
• B． {-1，0}
• C． {-1，0，1}
• D． {-2，0}

Answer 1

分析 根据解析式判断f（x）为奇函数，化简得出：f（x）=$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，结合指数函数的性质，不等式的性质得出f（x）的值域为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
分类得出当f（x）∈（-$\frac{1}{2}$，0）时，[f（x）]=-1，[f（-x）]=0，当f（x）∈（0，$\frac{1}{2}$）时，[f（x）]=0，[f（-x）]=-1，当f（x）=0时，[f（x）]=0，[f（-x）]=0，即可求解问题．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$
f（-x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$=-f（x）
∴f（x）为奇函数
∵函数f（x）=$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}-\frac{1}{2}$，
∴化简得出：f（x）=$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
∵2^x+1＞1，
∴0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，
$-\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}$$＜\frac{1}{2}$，
∴当f（x）∈（-$\frac{1}{2}$，0）时，[f（x）]=-1，[f（-x）]=0，
当f（x）∈（0，$\frac{1}{2}$）时，[f（x）]=0，[f（-x）]=-1，
当f（x）=0时，[f（x）]=0，[f（-x）]=0，
∴函数y=[f（x）]+[f（-x）]的值域为{-1，0}
故选：B．

点评 本题考察了取整函数的性质，分类讨论的数学的运用，考察了学生的阅读分析问题的能力，对于代数式的运用．