Question

17．若数列{a_n}满足：a₁=$\frac{3}{2}$，a_n=$\frac{1}{2}-\frac{2}{{2{a_{n-1}}+1}}$（n=2，3，4，…），且有一个形如a_n=Asin（ωn+φ）的通项公式，其中A，ω，φ均为实数，且ω＞0，则此通项公式a_n可以为（　　）

• A． a_n=$\frac{3}{2}sin（{\frac{2π}{3}n-\frac{π}{6}}）$
• B． a_n=$\sqrt{3}sin（{\frac{2π}{3}n+\frac{2π}{3}}）$
• C． a_n=-$\frac{3}{2}sin（{\frac{2π}{3}n+\frac{5π}{6}}）$
• D． a_n=$\sqrt{3}sin（{\frac{2π}{3}n-\frac{π}{3}}）$

Answer 1

分析 由题设得到a2=0，a₃=-$\frac{3}{2}$，a₄=$\frac{3}{2}$，因为数列有个形如a_n=Asin（ωn+φ）的通项公式，而数列的周期是3，由周期公式可求ω，代入得Asin（$\frac{2π}{3}$+φ）=$\frac{3}{2}$，Asin（2×$\frac{2π}{3}$+φ）=0，Asin（3×$\frac{2π}{3}$+φ）=-$\frac{3}{2}$，联立方程解答A，φ即可得解．

解答 解：∵a₁=$\frac{3}{2}$，a_n=$\frac{1}{2}-\frac{2}{{2{a_{n-1}}+1}}$（n=2，3，4，…），
由此得到a2=0，a₃=-$\frac{3}{2}$，a₄=$\frac{3}{2}$…
因为数列有个形如a_n=Asin（ωn+φ）的通项公式，
而数列的周期是3，所以$\frac{2π}{ω}$=3，ω=$\frac{2π}{3}$，
代入得Asin（$\frac{2π}{3}$+φ）=$\frac{3}{2}$，①
Asin（2×$\frac{2π}{3}$+φ）=0，②
Asin（3×$\frac{2π}{3}$+φ）=-$\frac{3}{2}$，③
因为A，ω，均为实数，且ω＞0，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{Asinφ=-\frac{3}{2}}{\frac{4π}{3}+φ=kπ}}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}Acosφ+\frac{1}{2}Asinφ=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
从而得：A=$\sqrt{3}$，φ=k$π-\frac{4π}{3}$（k∈Z），
所以其中一个通项公式可以是a_n=$\frac{3}{2}$sin（$\frac{2π}{3}$n-$\frac{π}{3}$）．
故选：D．

点评 本题主要考查了数列的性质和应用，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，综合性较强，解题时要注意三角函数的应用，属于中档题．