Question

9．设函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2（x-1）}$，给定数列{a_n}，其中a₁=a＞1，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）．
（1）若{a_n}为常数列，求a的值；
（2）判断a_n与2的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）设a_n=a代入a_n+1=f（a_n）（n∈N₊），列出方程后化简求出a的值；
（2）对a分类讨论：当a=2时由（1）即可判断；当a≠2时，先求出a₂并利用作差法判断出a₂与2的大小关系，再利用数学归纳法进行证明结论．

解答 解：（1）若{a_n}为常数列，则a_n=a，
由a_n+1=f（a_n），得a=f（a），
因为f（x）=$\frac{x2}{2（x-1）}$，所以a=$\frac{a2}{2（a-1）}$，
又a＞1，所以a=2（a-1），解得a=2；
（2）当a=2时，由（1）知a_n=2，
当a≠2时，因为a₁=a，a_n+1=f（a_n）=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2（{a}_{n}-1）}$，
所以a₂=$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2（{a}_{1}-1）}$=$\frac{a2}{2（a-1）}$，
所以a₂-2=$\frac{a2}{2（a-1）}$-2=$\frac{{a}^{2}-4a+4}{2（a-1）}$=$\frac{（a-2）^{2}}{2（a-1）}$＞0，则a₂＞2，
当k≥3时，假设a_k＞2，即a_k-2＞0，
那么当n=k+1时，a_k+1-2=$\frac{{{a}_{k}}^{2}}{2（{a}_{k}-1）}$-2=$\frac{{{a}_{k}}^{2}-4{a}_{k}+4}{2（{a}_{k}-1）}$=$\frac{{（{a}_{k}-2）}^{2}}{2（{a}_{k}-1）}$＞0，
所以a_k+1-2＞0，则a_k+1＞2成立，
综上可得，当a=2时，a_n=2；当a≠2、n≥2时，有a_n＞2．

点评 本题考查数列的递推公式，数列与函数的关系，以及利用数学归纳法证明结论，属于中档题．