Question

6．已知S_n={A|A=（a₁，a₂，a₃…a_i…，a_n），a_i=2014或2015，i=1，2，3…，n}（n≥2），对于U，V∈S_n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．
（1）令U=（2015，2015，2015，2015，2015），存在m个V∈S₅，使得d（U，V）=2，则m=10；
（2）令U=（a₁，a₂，a₃…a_n），若V∈S_n，则所有d（U，V）之和为n•2^n-1．

Answer 1

分析 （1）由于存在m个V∈S₅，使得d（U，V）=2，可得m=${∁}_{5}^{2}$．
（2）P_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），a_i=2014或2015，i=1，2，3，…，n}（n≥2），P_n中共有2ⁿ个元素，分别记为v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ），v=（b₁，b₂，b₃，…b_n），由于b_i=2014的v_k共有2^n-1个，b_i=2015的v_k共有2^n-1个．即可得出．

解答 解：（1）∵存在m个V∈S₅，使得d（U，V）=2，则m=${∁}_{5}^{2}$=10．
（2）∵P_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），a_i=2014或2015，i=1，2，3，…，n}（n≥2），
∴P_n中共有2ⁿ个元素，分别记为v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ），v=（b₁，b₂，b₃，…b_n）．
∵b_i=2014的v_k共有2^n-1个，b_i=2015的v_k共有2^n-1个．
∴d（U，V）=2^n-1（|a₁-2014|+|a₁-2015|+|a₂-2014|+|a₂-2015|+|a₃-2014|+|a₃-2015|+…+|a_n-2014|+|a_n-2015|=n•2^n-1
∴d（U，V）=n•2^n-1．

点评 本题考查了新定义的理解及其应用、集合的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．