Question

11．设z=a+bi，a，b∈R，b≠0．，且ω=z+$\frac{1}{z}$是实数，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）设u=$\frac{1-z}{1+z}$，求证：u为纯虚数．

Answer 1

分析 （1）利用复数的除法以及加法运算法则化简复数为a+bi的形式，然后求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）化简u=$\frac{1-z}{1+z}$，然后判断复数的实部为0，虚部是非零实数，即可证明u为纯虚数．

解答 解：（1）∵z=a+bi，a，b∈R，b≠0．
∴$ω=a+bi+\frac{1}{a+bi}=（a+\frac{a}{{{a^2}+{b^2}}}）+（{b-\frac{b}{{{a^2}+{b^2}}}}）i$，
∵ω是实数，b≠0，∴a²+b²=1即|z|=1，
∵ω=2a，-1＜ω＜2∴z的实部的取值范围是$（{-\frac{1}{2}，1}）$；…（5分）
（2）证明：$u=\frac{1-z}{1+z}=\frac{1-a-bi}{1+a+bi}=\frac{{（{1-a-bi}）（{1+a-bi}）}}{{（{1+a+bi}）（{1+a-bi}）}}=\frac{{1-{a^2}-{b^2}-2bi}}{{{{（{1+a}）}^2}+{b^2}}}=-\frac{b}{a+1}i$，
∵$a∈（{-\frac{1}{2}，1}），b≠0$，∴u为纯虚数．…（10分）

点评 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模以及复数的基本概念的应用，考查计算能力．