Question

1．在△ABC中，E为边AC上一点，且$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AE}$，P为BE上一点，且满足$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m＞0，n＞0），则$\frac{m+n+mn}{mn}$的最小值为5+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据平面向量基本定理求出m，n关系，利用基本不等式的性质进行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AE}$，∴$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AB}$+4n$\overrightarrow{AE}$，
又∵P为BE上一点，不妨设$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BE}$（0＜λ＜1），
∴$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+λ（$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$）=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AE}$，
∴m$\overrightarrow{AB}$+3n$\overrightarrow{AE}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AE}$，
∵$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}$不共线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1-λ}\\{3n=λ}\end{array}\right.$，则m+3n=1-λ+λ=1，
∴$\frac{m+n+mn}{mn}$=$\frac{m+n}{mn}$+1=$\frac{1}{m}$$+\frac{1}{n}$+1=（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）×（m+3n）+1
=5+$\frac{3n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥5+2$\sqrt{\frac{3n}{m}•\frac{m}{n}}$=5+2$\sqrt{3}$，（m＞0，n＞0）．
当且仅当$\frac{3n}{m}$=$\frac{m}{n}$即m=$\sqrt{3}$n时等号成立，
即$\frac{m+n+mn}{mn}$的最小值为5+2$\sqrt{3}$，
故答案为：5+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面向量基本定理和基本不等式求最值，难点在于利用向量求m，n的关系和求m+3n=1．