Question

9．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{BC}$=6，则△ABC的形状是（　　）

• A． 锐角三角形
• B． 钝角三角形
• C． 直角三角形
• D． 上述三种情况都有可能

Answer 1

分析 在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得 $\overrightarrow{AC}$²-${\overrightarrow{AB}}^{2}$=-36，又BC=6，则有|${\overrightarrow{AB}}^{2}$|=|$\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²，运用勾股定理逆定理即可判断三角形的形状．

解答 解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：
则OD⊥BC，GD=$\frac{1}{3}$AD，
∵$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}$，$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
由$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{BC}$=6，
则（$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}$）$•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DG}•\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）$•\overrightarrow{BC}$=6，
即-$\frac{1}{6}$•（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=6，则${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}=-36$，
又BC=6，
则有|${\overrightarrow{AB}}^{2}$|=|$\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²，
即有C为直角．
则三角形ABC为直角三角形．
故选：C．

点评 本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用勾股定理逆定理判断三角形的形状．