Question

19．已知函数f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当$x∈[\frac{5π}{24}，\frac{11π}{24}]$时，求函数f（x）的值域；
（3）当x∈（-$\frac{9π}{8}$，-$\frac{7π}{8}$）时，设经过函数f（x）图象上任意不同两点的直线的斜率为k，试判断k值的符号，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=-$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+2，利用周期公式即可求得函数f（x）的最小正周期；
（2）由$x∈[\frac{5π}{24}，\frac{11π}{24}]$，可得$\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{2π}{3}$，由正弦函数的图象和性质可求$sin（2x-\frac{π}{4}）∈[\frac{1}{2}，1]$，从而可得函数f（x）的值域；
（3）由$x∈（-\frac{9π}{8}，-\frac{7π}{8}）$，可得$-\frac{5}{2}π＜2x-\frac{π}{4}＜-2π$，由正弦函数的图象可知f（x）在$（-\frac{9π}{8}，-\frac{7π}{8}）$上是减函数，可得经过任意两点（x₁，f（x₁））和（x₂，f（x₂））的直线的斜率k=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0．

解答 （本题满分为15分）
解：f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x=cos2x-sin2x+2=-$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+2，
（或$f（x）=\sqrt{2}cos（2x+\frac{π}{4}）+2$）；…（4分）
（1）T=π； …（6分）
（2）∵$x∈[\frac{5π}{24}，\frac{11π}{24}]$时，∴$\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{2π}{3}$，则$sin（2x-\frac{π}{4}）∈[\frac{1}{2}，1]$
∴f（x）的值域为$[2-\sqrt{2}，2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$…（10分）
（3）k值的符号为负号；
∵$x∈（-\frac{9π}{8}，-\frac{7π}{8}）$，∴$-\frac{5}{2}π＜2x-\frac{π}{4}＜-2π$，
∴f（x）在$（-\frac{9π}{8}，-\frac{7π}{8}）$上是减函数．…（12分）
∴当${x_1}，{x_2}∈（-\frac{9π}{8}，-\frac{7π}{8}）$，且x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），
从而经过任意两点（x₁，f（x₁））和（x₂，f（x₂））的直线的斜率k=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0． …（15分）

点评 本题考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，直线的斜率公式的应用，属于基本知识的考查．