Question

14．已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a：b：c=7：5：3．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积为45$\sqrt{3}$，求△ABC三条边长a，b，c的大小．

Answer 1

分析 （1）由a：b：c=7：5：3可设a=7k，b=5k，c=3k（k＞0），由余弦定理得求出cosA的值；
（2）由（1）和平方关系求出sinA的值，由条件和三角形的面积公式求出三条边长a，b，c的大小．

解答 解：（1）因为a：b：c=7：5：3，
所以可设a=7k，b=5k，c=3k（k＞0），…（2分）
由余弦定理得，$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$=$\frac{{{{（{5k}）}^2}+{{（{3k}）}^2}-{{（{7k}）}^2}}}{2×5k×3k}$=$-\frac{1}{2}$；   …（4分）
（2）由（1）知，$cosA=-\frac{1}{2}$，
因为A是△ABC的内角，所以$sinA=\sqrt{1-{{cos}^2}A}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（6分）
由（1）知b=5k，c=3k，因为△ABC的面积为$45\sqrt{3}$，
所以$\frac{1}{2}bcsinA=45\sqrt{3}$，…（8分）
即$\frac{1}{2}×5k×3k×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=45\sqrt{3}$，解得$k=2\sqrt{3}$，…（10分）
解得，a=7k=$14\sqrt{3}$，b=5k=$10\sqrt{3}$，c=3k=$6\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题考查余弦定理，平方关系的应用，以及三角形的面积公式，考查化简、计算能力，属于中档题．