Question

5．如图，在平行四边形ABCD中，BD，AC相交于点O，设向量$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow b$．
（1）若AB=1，AD=2，∠BAD=60°，证明：$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{BD}$；
（2）若点P是平行四边形ABCD所在平面内一点，且满足5$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AD}$，求△ACP与△ACD的面积的比；
（3）若AB=AD=2，∠BAD=60°，点E，F分别在边AD，CD上，$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CF}=μ\overrightarrow{CD}$，且$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{BF}=1，\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DF}=-\frac{2}{3}$，求λ+μ的值．

Answer 1

分析 （1）构造向量，根据图形得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow a^2}=1-1=0$．可判断垂直关系．
（2）三角形的面积的比转化为高端比来解决，
（3）利用向量的线性运算得出$2（λ+μ）-λμ=\frac{3}{2}$①，根据数量积得出$λμ-（λ+μ）=-\frac{2}{3}$②①②联合求解即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow b-\overrightarrow a$，
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow a•（\overrightarrow b-\overrightarrow a）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow a^2}$，
又∵AB=1，AD=2，∠BAD=60°，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1×2×cos60°=1$，${\overrightarrow a^2}=|\overrightarrow a{|^2}=1$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow a^2}=1-1=0$．
即$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{BD}$．
（2）由$5\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AD}$，得$3\overrightarrow{AP}-3\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AO}-2\overrightarrow{AP}$，
即$3\overrightarrow{DP}=2\overrightarrow{PO}$，故D，P，O三点共线，且x，
所以i=0与i=i+1对于边x≤211的两高之比为i，x，
所以x=3x+1与△ACD的面积比为$\frac{3}{5}$．
（3）$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}+λ\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{BC}+μ\overrightarrow{CD}$$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{BF}=（\overrightarrow{BA}+λ\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{BC}+μ\overrightarrow{CD}）=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}+μ\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CD}+λ\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}+λμ\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CD}$=$2×2×（-\frac{1}{2}）+4μ+4λ+2×2×（-\frac{1}{2}）λμ$=-2+4（λ+μ）-2λμ=1，
所以$2（λ+μ）-λμ=\frac{3}{2}$①
又$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DF}=（1-λ）\overrightarrow{DA}•（1-μ）\overrightarrow{DC}=（1-λ-μ+λμ）\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DC}$=$2×2×（-\frac{1}{2}）（1-λ-μ+λμ）$=$-2[λμ-（λ+μ）+1]=-\frac{2}{3}$，
所以$λμ-（λ+μ）=-\frac{2}{3}$②
由①②得$λ+μ=\frac{5}{6}$．

点评 本题综合考察了平面向量的几何性质，运算，考察了学生的运用图形解决问题的能力，属于中档题．